معادلة ديراك

 

معادلة ديراك هي معادلة نسبية لميكانيكا الكم، صاغها بول ديراك عام 1928. استنتجها باستخدام مبادئ أساسية في النسبية الخاصة وميكانيكا الكم، لتوفير وصف دقيق للجسيمات ذات السبين 

$\frac{1}{2}$، مثل الإلكترونات. لنبدأ بشرح الخطوات:

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1. معادلة الطاقة في النسبية الخاصة

وفق النسبية الخاصة لأينشتاين:

$$E^2 = p^2c^2 + m^2c^4$$

حيث:

• $E$: الطاقة.
• $p$: الزخم الخطي.
• $c$: سرعة الضوء.
• $m$: كتلة الجسيم.

هذه العلاقة تصف الطاقة الكلية لجسيم في حالة نسبية، وتشمل مكونات الزخم والطاقة الساكنة ($m c^2$).

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2. الصياغة الكمومية للطاقة والزخم

في ميكانيكا الكم، يتم تمثيل الطاقة والزخم بمؤثرات:

• الطاقة: $\hat{E} = i\hbar \frac{\partial}{\partial t}$,
• الزخم: $\hat{p} = -i\hbar \nabla$.

بإبدال هذه المؤثرات في معادلة الطاقة النسبية، نحصل على معادلة كلاين-غوردون:

$$\left( \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 + \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right) \psi = 0$$

ولكن هذه المعادلة ليست مناسبة للإلكترونات لأنها:

1. لا تأخذ في الاعتبار السبين $\frac{1}{2}$.
2. تعاني من إشكالية الطاقة السالبة.

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3. ديراك يعيد صياغة المعادلة

اقترح ديراك تعديل المعادلة لتكون من الدرجة الأولى في الزمن والمكان، بدلًا من الدرجة الثانية. وبدلًا من الجذر التربيعي للطاقة:

$$E = c (\alpha \cdot p) + \beta mc^2$$

حيث:

• $\alpha$ و $\beta$: معاملات يتم تحديدها، وهي ليست أعدادًا بل مصفوفات.
• المصطلح $c (\alpha \cdot p)$: يمثل الحركة الديناميكية.
• المصطلح $\beta mc^2$: يمثل الطاقة الساكنة.

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4. صياغة معادلة الموجة النسبية

في الشكل الكمومي:

$$i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \left( c (\alpha \cdot \hat{p}) + \beta mc^2 \right) \psi$$

حيث:

• $\psi$: الدالة الموجية (حالة الجسيم).

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5. شروط $\alpha$ و $\beta$

لتلبية العلاقة $E^2 = p^2c^2 + m^2c^4$، يجب أن تحقق المصفوفات $\alpha$ و $\beta$ العلاقات التالية:

• $\alpha_i^2 = \beta^2 = I$, حيث $I$ مصفوفة الوحدة.
• $\alpha_i \alpha_j + \alpha_j \alpha_i = 0$ (لـ $i \neq j$).
• $\alpha_i \beta + \beta \alpha_i = 0$.

تمثل هذه المصفوفات في فضاء رباعي الأبعاد باستخدام مصفوفات غاما $\gamma^\mu$.

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6. الشكل النهائي لمعادلة ديراك

في صورة نسبية رباعية الأبعاد:

$$\left( i\hbar \gamma^\mu \partial_\mu - mc \right) \psi = 0$$

حيث:

• $\gamma^\mu$: مصفوفات غاما التي ترتبط بالزمان والمكان.
• $\partial_\mu = \frac{\partial}{\partial x^\mu}$: المشتق الرباعي.

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نتائج معادلة ديراك

1. الجسيمات المضادة:

   • المعادلة تنبأت بوجود جسيمات مضادة، وهو ما أدى إلى اكتشاف البوزيترون في 1932.

2. وصف الجسيمات ذات السبين $\frac{1}{2}$:

   • ساعدت في فهم الإلكترونات والبروتونات والجسيمات الأولية المشابهة.

3. الطاقة السالبة:

   • عالج ديراك هذه المشكلة بافتراض "بحر ديراك"، حيث تكون جميع الحالات السالبة مشغولة، وإذا أُزيل إلكترون تظهر فجوة تمثل جسيمًا مضادًا.

4. التشابك بين النسبية وميكانيكا الكم:

   • دمجت المعادلة المبادئ الأساسية للنظريتين.

باللغة الفرنسية

Dérivation de l'équation de Dirac 

L'équation de Dirac, formulée par Paul Dirac en 1928, est une équation relativiste de la mécanique quantique. Elle a été conçue pour décrire les particules élémentaires de spin $\frac{1}{2}$, comme les électrons, tout en intégrant les principes de la relativité restreinte et de la mécanique quantique. Voici les étapes détaillées de sa dérivation :

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1. Énergie relativiste

Selon la relativité restreinte d'Einstein, l'énergie totale d'une particule est donnée par :

$$E^2 = p^2c^2 + m^2c^4$$

où :

• $E$ : énergie totale,
• $p$ : quantité de mouvement linéaire,
• $c$ : vitesse de la lumière,
• $m$ : masse de la particule.

Cette relation relie l'énergie, la quantité de mouvement et la masse d'une particule en tenant compte des effets relativistes.

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2. Formalisme quantique de l'énergie et de la quantité de mouvement

En mécanique quantique, l'énergie et la quantité de mouvement sont représentées par des opérateurs :

• $\hat{E} = i\hbar \frac{\partial}{\partial t}$ pour l'énergie,
• $\hat{p} = -i\hbar \nabla$ pour la quantité de mouvement.

En remplaçant ces opérateurs dans l'équation de l'énergie relativiste, on obtient l'équation de Klein-Gordon :

$$\left( \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 + \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right) \psi = 0$$

Cependant, cette équation présente deux problèmes :

1. Elle ne tient pas compte du spin $\frac{1}{2}$ des particules comme les électrons.
2. Elle prédit des solutions avec des énergies négatives, difficiles à interpréter.

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3. Proposition de Dirac : une équation du premier ordre

Pour surmonter ces limitations, Dirac a proposé une équation du premier ordre en temps et en espace. Il a reformulé la relation énergétique comme suit :

$$E = c (\alpha \cdot p) + \beta mc^2$$

où :

• $\alpha$ et $\beta$ sont des coefficients à déterminer,
• Ces coefficients doivent être des matrices et non des scalaires, pour représenter les degrés de liberté liés au spin.

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4. Forme quantique de l'équation

En remplaçant l'énergie $E$ et la quantité de mouvement $p$ par leurs opérateurs quantiques, l'équation devient :

$$i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \left( c (\alpha \cdot \hat{p}) + \beta mc^2 \right) \psi$$

où $\psi$ est la fonction d’onde décrivant l’état de la particule.

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5. Contraintes sur $\alpha$ et $\beta$

Pour que l'équation de Dirac soit cohérente avec la relation relativiste $E^2 = p^2c^2 + m^2c^4$, les matrices $\alpha$ et $\beta$ doivent satisfaire aux conditions suivantes :

• $\alpha_i^2 = \beta^2 = I$, où $I$ est la matrice identité,
• $\alpha_i \alpha_j + \alpha_j \alpha_i = 0$ pour $i \neq j$,
• $\alpha_i \beta + \beta \alpha_i = 0$.

Ces relations sont réalisées en utilisant les matrices de Dirac, également appelées matrices de Gamma $\gamma^\mu$.

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6. Forme finale de l'équation de Dirac

En notation relativiste covariante (dans un espace-temps à quatre dimensions), l’équation s’écrit :

$$\left( i\hbar \gamma^\mu \partial_\mu - mc \right) \psi = 0$$

où :

• $\gamma^\mu$ sont les matrices de Dirac ($\mu = 0, 1, 2, 3$),
• $\partial_\mu = \frac{\partial}{\partial x^\mu}$ représente les dérivées par rapport aux coordonnées espace-temps.

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Résultats majeurs de l’équation de Dirac

1. Antimatière :

   • L’équation prédit l'existence de particules d'énergie négative, interprétées comme des antiparticules. Cela a conduit à la découverte du positron en 1932.

2. Particules de spin $\frac{1}{2}$ :

   • L’équation décrit parfaitement les particules comme les électrons et les protons, qui possèdent un spin demi-entier.

3. Lien entre relativité et mécanique quantique :

   • L’équation unifie les principes de ces deux théories fondamentales.

4. Énergie négative et "Mer de Dirac" :

   • Dirac a proposé que toutes les énergies négatives soient remplies, et qu’une "lacune" dans cette mer corresponde à une antiparticule.

5. Applications modernes :

   • Elle est fondamentale en physique des particules, en électrodynamique quantique (QED) et en physique de la matière condensée.